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2023年河北專升本考試高等數學(二)(經管、農學類)考試大綱
2025-08-12 來源：中國教育在線
2023年河北專升本考試高等數學(二)(經管、農學類)考試大綱已發布！考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為100分，考試時間為60分鐘，試卷包括選擇題、填空題、計算題和應用題。考試主要內容、參考書目、樣題等具體信息如下，請考生參考。
一、內容概述與總要求
高等數學考試是為招收理工類、經管類及農學類各專業專升本學生而實施的入學考試。為體現上述不同類別各專業對專升本學生入學應具備的高等數學知識和能力的不同要求，高等數學考試分為高等數學(一)(理工類)考試和高等數學(二)(經管、農學類)考試，每一類考試單獨編制試卷。
參加高等數學(二)考試的考生應理解或了解《高等數學》中函數、極限、連續、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微分學、無窮級數、常微分方程以及《線性代數》中行列式、矩陣、線性方程組的基本概念與基本理論；掌握或學會上述各部分的基本方法；注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具有一定的運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和抽象思維能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法準確、簡捷地進行計算，正確地推理證明；注重數學應用能力的培養，能綜合運用所學知識分析并解決較簡單的實際問題。高等數學考試從兩個層次上對考生進行測試，較高層次的要求為“理解”和“掌握”，較低層次的要求為“了解”和“會”。這里“理解”和“了解”是對概念與理論提出的要求。“掌握”和“會”是對方法、運算能力及應用能力提出的要求。
二、考試形式與試卷結構
考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為100分，考試時間為60分鐘。
試卷包括選擇題、填空題、計算題和應用題。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、應用題均應寫出文字說明及演算步驟。
選擇題和填空題分值合計為50分。計算題和應用題分值合計為50分。高等數學(二)中《高等數學》與《線性代數》試題的分值比例約為83:17。
一、函數、極限與連續
(一)函數
1.知識范圍
函數的概念及表示法分段函數函數的奇偶性、單調性、有界性和周期性復合函數、反函數、隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數簡單應用問題函數關系的建立。
2.考核要求
(1)理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值。
(2)了解函數的簡單性質，會判斷函數的有界性、奇偶性、單調性、周期性。
(3)掌握基本初等函數的性質及其圖形。
(4)理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。掌握將一個復合函數分解為基本初等函數或者簡單函數的復合方法。
(5)會建立實際問題中的函數關系式并利用函數關系分析和解決較簡單的實際問題。
(二)極限
1.知識范圍
數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左、右極限極限的四則運算無窮小無窮大無窮小的比較。
兩個重要極限
2.考核要求
(1)理解極限的概念(對極限定義中“ε−N”、“ε−δ”、“ε−M”等形式的描述不作要求)，理解函數左、右極限的概念以及極限存在與左、右極限之間的關系。
(2)了解極限的性質，掌握極限的四則運算法則。
(3)理解無窮小、無窮大以及無窮小的比較(高階、低階、同階和等價)的概念，會應用無窮小與無窮大的關系、有界變量與無窮小的乘積、等價無窮小代換求極限。
(4)掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
(三)函數的連續性
1.知識范圍
函數連續的概念函數的間斷點初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質(最大值與最小值定理、零點存在定理、介值定理)及其簡單應用。
2.考核要求
(1)理解函數連續性概念，會判斷分段函數在分段點的連續性。
(2)會求函數的間斷點。
(3)了解閉區間上連續函數的性質(最大值與最小值定理、零點存在定理、介值定理)。
(4)了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解函數在一點連續和極限存在的關系，會應用函數的連續性求極限。
(5)會利用連續函數的最大值與最小值定理、零點存在定理及介值定理分析和解決較簡單的實際問
題。
二、一元函數微分學
(一)導數與微分
1.知識范圍
導數與微分的概念導數的幾何意義和經濟意義函數的可導性與連續性的關系平面曲線的切線和法線基本初等函數的導數導數與微分的四則運算復合函數、隱函數以及參數方程確定的函數的
微分法高階導數的概念某些簡單函數的n階導數微分運算法則一階微分形式不變性邊際函數收益函數需求函數供給函數。
2.考核要求
(1)理解導數與微分的概念，理解導數的幾何意義和經濟意義，了解函數的可導性與連續性之間的關系，會求分段函數在分段點處的導數。
(2)會求平面曲線的切線方程與法線方程。
(3)掌握基本初等函數的導數公式，掌握導數的四則運算法則及復合函數的求導法則。
(4)會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數，會使用對數求導法。
(5)了解高階導數的概念，會求某些簡單函數的n階導數。
(6)掌握微分運算法則及一階微分形式不變性，了解可微與可導的關系，會求函數的微分。
(7)理解邊際函數、收益函數、需求函數和供給函數的意義，會解一些較簡單的應用問題。
(二)微分中值定理和導數的應用
1.知識范圍
羅爾(Rolle)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理洛必達(L'Hospital)法則函數單調性的判定函數極值及其求法函數最大值、最小值的求法及簡單應用函數圖形的凹凸性與拐點及其求法。
2.考核要求
(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義。
(2)掌握用洛必達法則求0，∞，0⋅∞，∞ − ∞型未定式極限的方法。
0∞
(3)掌握利用導數判定函數單調性及求函數的單調區間的方法。
(4)理解函數極值的概念，掌握求函數極值的方法，掌握函數最大值、最小值的求法及其簡單應用，會利用導數解決經濟學及管理學中的一些簡單應用題。
(5)會判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點。
三、一元函數積分學
(一)不定積分
1.知識范圍
原函數與不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式第一換元法(即湊微分法)第二換元法分部積分法簡單有理函數、簡單無理函數及三角函數有理式的積分。
2.考核要求
(1)理解原函數與不定積分的概念。
(2)理解不定積分的基本性質。
(3)掌握不定積分的基本公式。
(4)掌握不定積分的第一換元法、第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)和分部積分法。
(二)定積分
1.知識范圍
定積分的概念和性質變上限定積分及其導數牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式定積分的換元法和分部積分法定積分的應用(平面圖形的面積，旋轉體的體積)無窮區間的廣義積分的概念與計算。
2.考核要求
(1)理解定積分的概念，理解定積分的基本性質。
(2)理解變上限定積分是其上限的函數及其求導定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。
(3)掌握定積分的換元法和分部積分法。
(4)掌握用定積分求平面圖形的面積和簡單的封閉平面圖形繞坐標軸旋轉所成旋轉體體積。
(5)了解無窮區間的廣義積分的概念，會計算無窮區間的廣義積分。
四、多元函數微分學
1.知識范圍
多元函數的概念 二元函數的極限與連續的概念 偏導數、全微分的概念 全微分存在的必要條件與充分條件二階偏導數復合函數、隱函數的求導法多元函數的極值、條件極值的概念二元函數極值存在的充分條件、必要條件 極值的求法。
2.考核要求
(1)理解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義和定義域。了解二元函數極限與連續概念(對計算不作要求)。
(2)理解偏導數的概念，了解全微分的概念和全微分存在的必要條件和充分條件。
(3)掌握二元初等函數的一、二階偏導數的計算方法，會求全微分。
(4)掌握復合函數一、二階偏導數的計算方法(含抽象函數)。
(5)掌握由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數z=z(x,y)的一階偏導數的求法。
(6)會求二元函數的極值，會求二元函數的最大值、最小值并會解一些簡單的應用問題。
五、無窮級數(一)常數項級數1．知識范圍
常數項級數收斂、發散的概念收斂級數的和級數收斂的基本性質和必要條件正項級數收斂性的比較判別法、比值判別法交錯級數的萊布尼茨(Leibniz)判別法絕對收斂與條件收斂。
2.考核要求
(1)
理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念。理解級數收斂的必要條件和基本性質。
(2)掌握幾何級數∑aqn的斂散性。
n=0
∞1∞1
(3)掌握調和級數∑n與p−級數∑np的斂散性。
n=1n=1
(4)掌握正項級數的比值判別法，會用正項級數的比較判別法。
(5)會用萊布尼茨判別法判定交錯級數收斂。
(6)了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會判定任意項級數的絕對收斂與條件收斂。
(二)冪級數
1.知識范圍
冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域冪級數在收斂區間內的基本性質函數ex，ln(1+x)，
1
1−x
的馬克勞林(Maclaurin)展開式。
2.考核要求
(1)了解冪級數的概念。
(2)了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(連續性，逐項求導與逐項積分)。
(3)掌握求冪級數的收斂半徑、收斂域的方法(包括端點處的收斂性)。
(4)會運用ex，ln(1+x)，1
1−x
的馬克勞林展開式，將一些簡單的初等函數展開為x或(x−x0)的
冪級數。
六、常微分方程
(一)微分方程基本概念
1.知識范圍
常微分方程的概念微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。2．考核要求
(1)了解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。
(2)會驗證常微分方程的解、通解和特解。
(3)會建立一些微分方程，解決簡單的應用問題。
(二)一階微分方程
1.知識范圍
一階可分離變量微分方程一階線性微分方程。2．考核要求
(1)掌握一階可分離變量微分方程的解法。
(2)會用公式法解一階線性微分方程。
七、線性代數
(一)行列式
1.知識范圍
行列式的概念余子式和代數余子式行列式的性質行列式按一行(列)展開定理克萊姆(Cramer)法則及推論。
2.考核要求
(1)了解行列式的定義，理解行列式的性質。
(2)理解行列式按一行(列)展開定理。
(3)掌握計算行列式的基本方法。
(4)會用克萊姆法則及推論解線性方程組。
(二)矩陣
1.知識范圍
矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法矩陣的轉置單位矩陣對角矩陣三角形矩陣方陣的行列式方陣乘積的行列式逆矩陣的概念矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換矩陣的秩 初等行變換求矩陣的秩和逆矩陣。
2.考核要求
(1)了解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣和三角形矩陣。
(2)掌握矩陣的線性運算、乘法和矩陣的轉置。
(3)會用伴隨矩陣法求二、三階方陣的逆矩陣。
(4)理解矩陣秩的概念，會用初等行變換法求矩陣的秩和逆矩陣，會解簡單的矩陣方程。
(三)線性方程組
1.知識范圍
向量的概念向量組的線性相關與線性無關向量組的極大無關組向量組的秩與矩陣的秩的關系齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件齊次線性方程組的基礎解系和通解 非齊次線性方程組的通解 用初等行變換求解線性方程組的方法。
2.考核要求
(1)理解n維向量的概念，理解向量組線性相關與線性無關的定義，了解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念。
(2)了解判別向量組的線性相關性的方法。
(3)會求齊次線性方程組的基礎解系，會求齊次線性方程組和非齊次線性方程組的一般解和通解。
(4)會建立線性方程組，解決簡單的應用問題。
Ⅲ.模擬試卷及答案
河北省普通高等學校專升本考試
高等數學(二)(經管、農學類)模擬試卷1
(考試時間：60分鐘)(滿分：100分)
說明：請在答題紙的相應位置上作答，在其它位置上作答的無效。
一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個備選項中，選出一個正確的答案，并將所選項前的字母填涂在答題紙的相應位置上，填涂在其它位置上無效)
1.
設函數f(x)=?1,|x|≤1，則f[f(x)]=().
?
?1,|x|≤1
A．0B.1C.
?0,|x|>1
?0,|x|≤1
D.?1,|x|>1
2.已知f(x)=
1，則函數f(x)的第一類間斷點是().
A.
x=1
1−e1−x
B.x=0
C.x=−1
D.x=2
3.曲線y=ex上哪一點的切線平行于y=2x−3().
A.(1,ln2)B.(2,ln2)C．(ln2,1)D．(ln2,2)
?x=a(t−sint)
4.
設?y=a(1−cost)
dy
，則π=().
t=
2
A.2B.−2
C.1D.−1
5.下列表達式中正確的是().
A.(∫f(x)dx)′=
f′(x)
B.d∫f(x)dx=
f(x)
C.∫f′(x)dx=
f(x)+C
D.∫df(x)=
f(x)
6.若∫te3xdx=7，則t=().
03
A.2B.ln2C.1D.1ln2
2
7.
設f(x,y)=ln?y?
??
，則fx′(2,1)=().
A.1B.−1
C.−1D.1
22
8.級數∑10nxn的收斂域為().
n=0
A.?−1,1?
B.?0,1?
C.?−1,0?
D.?−1,1?
?1010?
?10?
?10?
??1010??
9.
微分方程xy′+y=sinx的通解是().
A.y=1(sinx+C)
x
C.y=1(cosx+C)
x
B.y=1(−cosx+C)
x
D.y=1(−sinx+C)
x
10.設向量組a1，a2，a3，，an線性相關，則().A.向量組中存在某一向量可由其它向量線性表示
B.向量組中只有一個向量可由其它向量線性表示C.向量組中任意一個向量可由其它向量線性表示
D.向量組中任意一個向量都不可由其它向量線性表示
二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分.將答案填寫在答題紙的相應位置上，填寫在其它位置無效)
11.
limtanx(1−cosx)=.
x→0
xsin2x
1
12.已知f(x)=
cos2x+ex
，則f′(x)
=.
13.函數z=ln(x+y)的定義域為.
?11t?
14.已知矩陣A=?t10?，且齊次線性方程組Ax=O有非零解，則t=.
??
?001?
∞1
15.
級數∑(5n−4)(5n+1)=.
三、計算題(本大題共4小題，每小題10分，共40分.將解答的主要過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上， 寫在其它位置上無效)
1
16.求e
0
xdx的值.
17.
?200?
A=?120?，矩陣A滿足方程AX=A+X，求矩陣X.
?112?
v2∂z∂z
18.設z=u,u=sinx+y,v=xlny，求∂x和∂y.
19.解方程dy=ex−y+x2e−y,
dx
y|x=0
=0.
四．應用題(本題10分；將解答的主要過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上，寫在其它位置上無效.)
20.某旅行社舉辦風景區旅行團，若每團人數不超過30人，飛機票每張收費900元；若每團人數多于30人，則給予優惠，每多一人，飛機票每張收費減少10元，直至每張飛機票收費降到450元為止.每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.問：每團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？最大利潤為多少？
高等數學(二)(經管、農學類)模擬試卷1參考答案和評分標準
一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。選對得3分，選錯、未選或多選得0分)
1．B2．A3．D4.C5.C6．B7.C8．A9.B10.A
二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分.填對得4分，未填或填錯得0分)
1
11.
2
12.
−sin2x−1excos2xx2
13.{(x,y)|x+y≥1}
14.115.1
5
三、計算題(本大題共4小題，每小10分，共40分。解答過程、步驟和答案必須完整、正確)
16.解：令x=t，則x=t2
........................................................................................1分
原式=1etdt2=12tetdt
00
.................................................................................3分
=21tdet
0
.......................................................................................................6分
=2e−2et|1=2
..............................................................................................10分
17.解：由AX=A+X得(A−I)X=A
?200??100??100?
A−I=?120?−?010?=?110?
?112??001??111?
.........................................................3分
|A−I|=1≠0,所以A−I可逆......................................................................................5分
由AX=A+X得(A−I)X=A，即
?100??200??200?
X=(A−I)−1A=?−110??120?=?−120?.........................................10分
?0−11??112??0−12?
??????
18.解：∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v=vuv−1cosx+uvlnulny
............................................3分
∂x∂u∂x∂v∂x
=xlnycosx(sinx+y2)xlny−1+(sinx+y2)xlnyln(sinx+y2)lny
....................5分
∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v=vuv−12y+uvlnux
..................................................7分
∂y∂u∂y∂v∂yy
=2xylny(sinx+y2)xlny−1+(sinx+y2)xlnyln(sinx+2x
.........................10分
19.解：方程可以改寫為
dy=e−y(ex+x2)dx
y).
y
即eydy=(ex+x2)dx
.............................................................................................4分
兩邊積分得
ey=ex+1x3+C
3
以條件y|x=0=0代入，得1=1+C，即C=0..............................................................6分
于是所求特解為
ey=ex+1x3，
3
? |
即y=ln?ex
+1x
3
3?.....................................................................................................10分
? |
??
四、應用題(本題10分。解答過程、步驟和答案必須完整、正確)
20.解：設x表示每團人數，p表示飛機票的價格，因(900-450)÷10=45，所以每團
人數最多為30+45=75人，飛機票的價格為
? |
p=?
900,1≤x≤30
..........................................................2分
?900−10(x−30),30<x≤75
旅行社的利潤函數為
L=L(x)=xp−15000
= |
?900x−15000,1≤x≤30
?
?900x−10x(x−30)−15000,30<x≤75
= |
?900x−15000,1≤x≤30
?2
...............................................4分
?1200x−10x−15000,30<x≤75
? |
因為L′(x)=?
900,1≤x<30
.........................................................................6分
?1200−20x,30<x≤75
顯然，當L′(x)=0時，有x=60,又30<x<60時，L(x)>0，
當60<x≤75時，L(x)<0.所以，當x=60人時，利潤函數取最大值，即每團60人時，旅行社可
獲得最大利潤， 最大利潤為
L(60)=(1200x−10x2−15000)|
x=60=21000.....................................................10分
河北省普通高等學校專升本考試
高等數學(二)(經管、農學類)模擬試卷2
(考試時間：60分鐘)(滿分：100分)
說明：請在答題紙的相應位置上作答，在其它位置上作答的無效。
一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個備選項中，選出一個正確的答案，并將所選項前的字母填涂在答題紙的相應位置上，填涂在其它位置上無效)
1.f(x)=|xsinx|ecosx(−∞<x<+∞)是().
A.有界函數B.單調函數C.周期函數D.偶函數
??ln(x+1)+1,
2.已知函數f(x)=?ex
x<0
是(−∞,+∞)上的連續函數，則a=().
??tanx+a,
x≥0
A.-1B.0C.1D.2
3.已知F(x)=arctanx是f(x)=
1
1+x2
的一個原函數，則().
A.∫f(x)dx=arctanxB.∫f(x)dx=arctanx+C
C.∫
f′(x)dx=arctanx
D.F′(x)=
1+C
1+x2
4.d1+x2=（）.
A.1+x2dx
B.2xdx1+x2
C.xdx1+x2
D.2x
1+x2dx
5.函數y=x3−3x2+2的極小值點是().
A.-2B.0C.2D.3
6.如果limf(x)=∞,limg(x)=∞，則下列極限成立的是().
x→ax→a
A.lim[f(x)+g(x)]=∞B.lim[f(x)−g(x)]=0
x→a
C.lim1=0
x→af(x)+g(x)
x→a
D.lim1=0
x→af(x)
7.
∂ |
設z=2ucosv,u=xy,v=x+y,則∂z=（）.
x
A.ln2⋅2xyysin(x+y)B.2xy[ln2⋅ysin(x+y)−cos(x+y)]
C.−ln2⋅2xyysin(x+y)D.2xy[ln2⋅ycos(x+y)−sin(x+y)]
8.微分方程y′+1y=1的通解是y=().
xx(x2+1)
A.1(arctanx+C)
x
B.arctanx+C
C.1(arctanx+C)2x
D.arctanx+1+C
2x
9.矩陣A可逆的充要條件是().
A.|A|=0
B.|A|≠0
C.A=0
D.A≠0
10.下列級數中，絕對收斂的是().
A.
∞ |
∑ |
(−1)n1
n=1n
B.(−1)n1
∞ |
∑ |
n=1n
C.∑(−1)
n=1
nn
n+1
D.∑(−1)
n=1
n1
4
n3
二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分。將答案填寫在答題紙的相應位置上，填寫在其它位置無效)
11.已知y=y(x)是由方程xy+lny=1所確定的隱函數，則dx
dy
=.
?sin2x1+x3?
12.
? |
lim
x→+∞?x
+2x3
?=.
?
∫π |
π
13.說明定積分4sinxdx的幾何意義,并求其值.
−
4
?−123?
14.設A=?0−12?，則(A*)−1=.
??
?00−1?
??
15.冪級數∑(−1)
n=1
n−1xn
n
的收斂域是.
三、計算題(本大題共4小題，每小題10分，共40分。將解答過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上，寫在其它位置上無效)
16.
∫ |
求+∞xe−x2dx.
0
17.設函數f(x,y)=x2+mxy+nx2y3在點(−1,1)處取得極值,求常數m,n的值.
?x1+2x2+3x3−x4=0
?
18.求方程組?2x1+4x2+5x3−3x4= −1的通解.
?−x−2x−3x+3x=8
?1234
19.解微分方程cosydx+(1+e−x)sinydy=0，求滿足初始條件y(0)=π的特解.
4
四、應用題(本題10分。將解答的過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上，寫在其它位置上無效)
20.某企業生產的某產品固定成本為500萬元,每生產1噸需增加費用50萬元.該產品的市場需求量為Q=1100−10P(P為價格) ,產銷平衡.求邊際利潤函數(在經濟領域中稱函數的導數為邊際函數,其含義是自變量改變一個單位時,函數的改變量) ,并求產量為多少時利潤最大？
高等數學(二)(經管、農學類)模擬試卷2參考答案和評分標準
一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。選對得3分，選錯、未選或多選得0分)
1．B2．C3．B4.C5.C
6．D7.D8．A9.B10.D
二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分。 填對得4分，未填或填錯得0分)
x+1
?? |
y?x1?
11.−
y
1
12..
2
=−?y+y2?.
13.表示曲線y=sinx與直線x= ±π
4
及x軸圍成在x軸上方圖形面積與x軸下方圖形面積
之差，其值為0.
?1−2
−3?
14.(A*)−1=?01−2?.
??
?? |
?001?
15.(−1,1].
三、計算題(本大題共4小題，每小10分，共40分。解答過程、步驟和答案必須完整、正確)
16.解：∫+∞xe−x2dx= −1∫+∞e−x2d(−x2)
...................................................................4分
020
=−1e−x2+∞
20........................................................................................................................................................6分
= −1(lime−x2−e0).......................................................................................8分
2x→+∞
=1.................................................................................................................10分
2
17.解:由于f(x,y)在(-1,1)處取得極值,且偏導數存在,由取極值的必要性得
?∂f
?∂x
=2x+my+2nxy3
∂f |
?
?____=mx+3nx2y2
從而有............................................................................4分
??∂y
? |
?fx′(−1,1)=−2+m−2n=0
?fy′(−1,1)=−m+3n=0
?−2+m−2n=0
..............................................................................6分
? |
即?−m+3n=0
?n=2
? |
解得?m=6............................................................................................................10分
18.解:寫出方程組的增廣矩陣，用初等變換化為簡化階梯陣
?123
−10??123−10?
(Ab)=?245−3−1?→?00−1−1−1?
????
?−1−2−338??00028?
????
?123−10??12304??120013?
→?00111?→?0010−3?→?0010−3?
??????
?????? |
?00014??00014??00014?
?x1=13−2x2
?
得方程組的一般解為?
?
?
x3=−3
x4=4
，x2為自由元....................................................5分
令x=0得方程組的一個特解v
?13?
0 |
??
=??.....................................................................6分
20?−3?
4 |
??
??
?x1=−2x2
?
原方程組的導出組的一般解為?
?
?
x3=0
x4=0
，x2為自由元.
?−2?
?1?
令x=1得導出組的一個基礎解系為v=??，............................................................8分
2?0?
0 |
??
??
故方程組的通解為x=v0+Cv，C為任意常數.........................................................10分
19.解:該方程為可分離變量微分方程.
分離變量得−sinydy=
cosy
1dx
1+e−x
兩端積分
−sinydy=
∫ |
cosy
1dx1+e
..................................................................2分
∫−x |
∫ |
∫x |
1dcosy=
cosy
1d(1+ex) 1+e
.....................................................................4分
方程的通解為cosy=C(1+ex)............................................................................6分
由初始條件y(0)=π，得C=2
44
....................................................................8分
得方程的特解為cosy=
2(1+ex)，即y=arccos?2(1+ex)?.......................10分
4?4?
??
四、應用題(本題10分。將解答的過程、步驟和答案填寫在答題紙的相應位置上，寫在其它位置上無
效)
20.解：由于
P=110−，
Q |
10
Q2
總收入為總成本為
R=PQ=110Q−，............................................................................2分
10
C=500+50Q，......................................................................................4分
Q2
故總利潤函數為L=R−C=60Q−.....−500，........................................................6分
10
求導得邊際利潤函數為
L′=60−Q，......................................................................8分
5
令L′=0，解得駐點Q=300
根據實際問題知,L存在最大值,且Q=300(噸)是利潤函數L唯一駐點,故當產量為300噸時利潤
最大，利潤最大值為
Lmax=8500萬元................................................................................10分
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